百科事典

ニュートンと無限シリーズ-

アイザックニュートンの計算は、実際には1665年に一般的な二項級数(1 + xn = 1 + n x + nn − 1)/ 2を発見したことから始まりましたx 2 + nn − 1)(n − 2)/ 3!X 3 +⋯の任意の合理的な値については、N。この式では、彼は多くの代数関数(機能のための無限のシリーズを見つけることができたのyX多項式満たすPをXY)= 0)。たとえば、(1 + x)−1 = 1 − x + x 2 − x 3 + x 4 − x 5 +⋯および1 / √の平方根(1 − x 2) =(1 +(− x 2) )−1/2 = 1 + 1/ 2x 2 + 1∙3/ 2∙4x 4+ 1∙3∙5/ 2∙4∙6x 6 +⋯。

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次に、これはニュートンを代数関数の積分のための無限級数に導いた。例えば、彼は、パワー積分することによって対数を得X(1 +ために直列にX)-1一つずつ、(1 +ログX)= X - X 2/ 2 + X / 3 3 - X 4 / 4 + X 5/ 5 - X 6/ 6 √(1 - 1 /平方根シリーズを統合することにより+⋯、逆正弦シリーズX 2)、SIN-1(X)= X + 1/ 2X / 3 3 + 1∙3/ 2∙4X / 5 5 + 1∙3∙5/ 2∙4∙6X 7/ 7 +⋯。

最後に、ニュートンのための逆直列計算することによって、この巨匠性能を冠xとの累乗でシリーズとしてY =ログ(X)とY = SIN-1(X指数級数見つける、それぞれ、)X = 1 + Y / 1!+ Y 2/ 2] + Y 3/ 3] + Y 4/ 4] +⋯正弦系列X = Y - Y 3/ 3] + Y 5/ 5!y 7 /7!+⋯。

ニュートンに必要な唯一の微分と積分はxのべき乗であり、実際の作業には無限級数を使用した代数計算が含まれることに注意してください。確かに、ニュートンは微積分を無限小数の算術の代数的類似体とみなし、彼はTractatus de Methodis Serierum et Fluxionum(1671; "Treatise of the Method of the Series and Fluxions")に次のように書いています。

特に10進数で最近確立された教義を変数に当てはめることが(N.メルカトルと双曲線の直角位相を除いて)誰にも起こらなかったことに私は驚いています。種のこの教義は代数と同じ関係にあり、10進数の教義は一般的な算術と同じであるため、加算、減算、乗算、除算、およびルート抽出の操作は、後者の演算から容易に学習できます。

ニュートンにとって、そのような計算は微積分の縮図でした。それらは彼のDe Methodisと原稿De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas(1669; "On Analysis by Equations with an Infinite Number With Terms")に見られるかもしれません。ニコラウスメルカトル。ニュートン終了したことがないデMethodisを、そして、彼が読み取ることができる人の数の熱意にもかかわらず、デAnalysiを、彼は1711これまでの出版物からそれを保留し、もちろん、唯一のゴットフリート・ライプニッツとの彼の優先順位争いで彼を傷つけます。

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